待ち行列理論(M/M/1モデル)

• Ｔ_a:平均到着間隔
• Ｔ_s:平均サービス時間
• λ:平均到着率(単位時間あたりの要求数)(=1/Ｔ_a)
• μ:平均サービス率(単位時間あたりにサービスできる要求数)(=1/Ｔ_s)
• ρ:利用率(=λ/μ=Ｔ_s/Ｔ_a)
• Ｌ:サービス中の要求を含めた行列の長さ
• Ｗ:要求が行列に入ってからサービスを受け終わるまでの時間

• Ｌ ＝	ρ	＝	Ｔs
  	1−ρ		Ｔa−Ｔs

  Ｔ_a＝Ｔ_sの時、つまり 利用者が到着する間隔と処理する時間が同じになる 時には行列を減らすことが全くできないので、分母が０、すなわち行列の長さＬは 無限大になる。 サービスの利用率ρが１（つまり１００％）なら行列が全く減らないので 無限に長くなってしまう。 平均サービス時間が平均到着間隔の丁度半分の時、 つまりサービル利用率が５０％の時、行列の長さは丁度１になる。

• Ｗ ＝  Ｔa・Ｌ ＝  Ｔa・	Ｔs
  	Ｔa−Ｔs

  利用者が時間Ｗだけ待たされたとすると、 平均到着率λ（＝１／Ｔ_a）だから、 列の長さＬはＷ・λだけ伸びているはず。 行列の長さＬが常に１の場合は、 利用者が到着する間隔Ｔ_aと 利用者が待たされる時間Ｗは、同じになる。

• Ｌ_q:サービス中の要求を含めない行列の長さ
• Ｗ_q:要求が行列に入ってからサービスを受け始めるまでの時間

• Ｌq ＝	ρ2	＝	λ2
  	1−ρ		μ（μ−λ）

  サービス中の１人を除く待ち行列の長さを計算すると、 サービス中の一人を含む場合の待ち行列の長さＬに 利用率ρを乗じた形に整理できる。 単純にＬから１を引けばＬ_qを得られるわけでなく、 待ち行列の長さが、「１の場合、２の場合…」のそれぞれの確率を Ｍ/Ｍ/１モデルに従って計算することで、 この結果が得られる。

• Ｗq ＝  Ｔa・Ｌq ＝	λ
  	μ（μ−λ）

  利用者が行列に入ってからサービスを受け始めるまでの時間をＷ_qとすると、 平均到着率λ（＝１／Ｔ_a）だから、 サービスを受けている人を含まない列の長さＬ_qは Ｗ_q・λだけ伸びているだろう。