１からｎ(≧２)のｎ個の数を１列に並べて得られる順列
 ｛ａ１，ａ２，・・・，ａｎ｝のうち

  ａ１＞ａ２＜ａ３＞・・＜ａ2j-1＞ａ2j＜ａ2j+1＞・・・

となるものを「振動順列１」，

  ａ１＜ａ２＞ａ３＜・・＞ａ2j-1＜ａ2j＞ａ2j+1＜・・・

となるものを「振動順列２」，

両方あわせて単に「振動順列」と呼ぶことにする。
 
  たとえばｎ＝６のとき
     ｛３、２、４、１、６、５｝ や ｛４、５、１、６、２、３｝
  は「振動順列」である。


    ★（初級）
      ｎ＝６のときいくつの「振動順列」があるか？

★★★（上級）
      １からｎのｎ個の数を１列に並べたとき

     「振動順列１」の数をＡｎ (ｎ≧２)，Ａ０＝Ａ１＝１ とし、

        ｐn＝Ａｎ／(ｎ!) （ｎ≧０）
           
      とおくとき次のべき級数であらわされるＦ(ｘ)を具体的にもとめよ。

                   ∞
          Ｆ(ｘ)＝ Σ ｐn * ｘn
                   n=0

    （形式級数の扱いで結構です。要するに収束条件とかは問わないことにします。）

【注釈】漸化式は２変数漸化式でなく１変数漸化式で考えてください。
        
        ２変数漸化式の場合(上級)を解くことは非常に困難になります。
        (というより私にはその方法がわからないということです。)


（初級)だけの解答でもさしつかえありません。