円周率

なぜ円周率をπと書くかというと円周率をπと書いた人が昔いたからです(笑)。
オイラー(1707-1783)が著書のなかでπと書いたためひろまったそうです。
πはギリシャ語のπεριμετροζ(周)の頭文字だそうです。

πは無理数です。有理数ではないということです。
  ２２／７＝３．１４２８５７・・・  や
  ３５５／１１３＝３．１４１５９２９２０・・・  や
  ２０８３４１／６６３１７＝３．１４１５９２６５３４６７・・・  じゃありません。

【πが無理数であることの証明】

    (この後を先に作ったらやたら難しくなった気がするので保留。
     インテグラルをどうやってかこうか？）



ギリシャの３大作図問題の１つに
    「円と同じ面積の正方形を作図せよ」
というのがあります。ここで「作図」とは定規とコンパスを有限回つかって作図することです。

基準となる長さを１とすると「作図」でつくれる長さは有理数とルートを有限回つかって
表せるものだけです。これはこの後述べる代数的数になります。
「円と同じ面積の正方形を作図できる」ものとすると
   ｘ２＝π より正方形の１辺の長さ 
sqrt(π)は代数的数になります。したがってπも代数的数ということになります。

ところがリンデマンという人がπは代数的数でないことを証明しました。
したがって 「円と同じ面積の正方形を作図せよ」は不可能であることが証明されました。

でも円を万能ハサミできってはりあわせると正方形ができるらしい。


代数的数
   ｎを自然数、ａn≠０，ａn-1，，，ａ1，ａ0を整数としたｘのｎ次方程式

      ａnｘn＋ａn-1ｘn-1＋・・・＋ａ1ｘ＋ａ0＝０

   の解となる数を代数的数といいます。
   有理数はａ1ｘ＋ａ0＝０の解ですから代数的数です。
   またｉ(＝sqrt(−１))はｘ2＋１＝０の解ですから代数的数です。

超越数
   代数的数でない複素数を超越数といいます。
   代数的数は可算無限個(自然数と１対１に対応できる。
   ａｌｅｐｈｚｅｒｏという)あることがわかっています。
   複素数は非可算無限個ですから超越数も非可算無限個(ａｌｅｐｈという)あります。
   つまり複素数の「ほとんどすべて」が超越数ということになります。

πが超越数であることは次の定理によります。

【エルミート−リンデマンの定理】

   αを０でない代数的数とすると ｅα は超越数である。


   【証明】略(^^;

   これから  ｅ は超越数がわかります。
   また この定理の対偶からｅπi＝−１は代数的数なのでπｉは超越数。
   代数的数ｘ代数的数は代数的数なのでπは超越数であることががわかります。

   同様にβを１でない代数的数とするとｌｎβは超越数であることも成り立ちます。
   π＝−２ｉ*ｌｎ(ｉ)，ｌｎ２は超越数。

   ｙ＝ｅｘ は(０、１)以外の代数的点((ｘ、ｙ)座標がともに代数的数の点)を通らない。
   ｙ＝ｓｉｎｘ＝(ｅix−ｅ-ix)／(２ｉ)も(０、０)以外の代数的点を通らない。


超越数についてはこういうことも知られています。
   
   ・α(≠０、１)、β(有理数でない)を代数的数とするとαβは超越数である。

       したがって２sqrt2やｅπ＝(-1)i は超越数。