３次方程式の解き方

【３次方程式の代数的解法】

  方程式を「代数的に解く」というのは、四則演算(加減乗除)と根号(ｎ乗根)
  を有限回使って解を表すことです。４次方程式までは一般に代数的にとくことができます。
  ５次以上の方程式は一般には解くことができません。
  特別な形のものだけが代数的にとくことができます。

  さて２次方程式   ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０  の解き方ははご存知ですね。
    
  ３次方程式   ｘ３＋ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０ 
  はつぎのようにして解きます。
  この式で ｘ＝ｘ'−ａ／３ とおくと   二次の項が消えて
          ｘ'３−３ｐｘ'＋ｑ＝０
  の形になります。ですからこれから後は、

          ｘ３−３ｐｘ＋ｑ＝０       -(*1)

  を解くことにします。

  さて、ここで次の因数分解の公式
    ｘ３＋ｙ３＋ｚ３−３ｘｙｚ
          ＝(ｘ＋ｙ＋ｚ)(ｘ２＋ｙ２＋ｚ２−ｘｙ−ｙｚ−ｚｘ)
    をさらに後ろの()の中をｘの２次式と見て因数分解すると

          ＝(ｘ＋ｙ＋ｚ)(ｘ＋ωｙ＋ω２ｚ)(ｘ＋ω２ｙ＋ωｚ)      -(*2)
                        但し  ω＝(-1+i*sqrt3)/2

となります。さぁもうおわかりですね。(*1)と(*2)を比べて

       ｐ＝ｙｚ
       ｑ＝ｙ３＋ｚ３

となるｙ、ｚを求めればよいわけです。するとｙ３、ｚ３は

       ｔ２−ｑｔ＋ｐ３＝０

の２根(α、βとする)となります。したがって(*1)の解は

        −α1/3−β1/3、
        −α1/3ω−β1/3ω２、
        −α1/3ω２−β1/3ω

となります。これもカルダノの方法というのだろうか？

【３次方程式の三角関数的解法】

  ここでは(*1)のｐ，ｑをちょっと変えて

          ｘ３＋３ｐｘ＋２ｑ＝０       

  を標準形として考えることにします(後の表記を簡単にしたいだけです)。
  ｐもｑも０でないとしておきます。

(1)ｐ３＋ｑ２≧０ のとき

   (1-1)ｐ＞０
        ｔａｎα＝sqrt(ｐ３)／ｑ，
        ｔａｎβ＝(ｔａｎ(α／２))1/3
           ただし  −π／２＜α＜π／２，−π／４＜β＜π／４
        とすると解は
           ｘ＝−２sqrt(ｐ)*ｃｏｔ(２β)、
               sqrt(ｐ)*(ｃｏｔ(２β)＋ｉ*sqrt(３)*ｃｏｓｅｃ(２β))、
               sqrt(ｐ)*(ｃｏｔ(２β)−ｉ*sqrt(３)*ｃｏｓｅｃ(２β))

  (1-2)ｐ＜０
       ｓｉｎα＝sqrt(−ｐ３)／ｑ，
       ｔａｎβ＝(ｔａｎ(α／２))1/3
           ただし  −π／２＜α＜π／２，−π／４＜β＜π／４
       とすると解は
           ｘ＝−２sqrt(−ｐ)*ｃｏｓｅｃ(２β)、
               sqrt(−ｐ)*(ｃｏｓｅｃ(２β)＋ｉ*sqrt(３)*ｃｏｔ(２β))
               sqrt(−ｐ)*(ｃｏｓｅｃ(２β)−ｉ*sqrt(３)*ｃｏｔ(２β))

(2)ｐ３＋ｑ２＜０ のとき
   このケースがおもしろいかな。
      (とはいうもののｃｏｓの３倍角の公式の応用なだけですが)

       ｃｏｓα＝−ｑ／sqrt(−ｐ３)
           ただし、 ０＜α＜π。
       とすると解は
          ｘ＝２sqrt(−ｐ)*ｃｏｓ(α／３)
              −２sqrt(−ｐ)*ｃｏｓ(α／３＋π／３)
              −２sqrt(−ｐ)*ｃｏｓ(α／３−π／３)


      たとえば
          ｘ３−３ｘ＋１＝０
      は(2)から
         ｃｏｓα＝−１／２  よって  α＝２π／３。
         ｘ＝２ｃｏｓ(２π／９)＝２ｃｏｓ(４０°)、
             −２ｃｏｓ(５π／９)＝２ｃｏｓ(８０°)
             −２ｃｏｓ(−π／９)＝２ｃｏｓ(１６０°)
      となります。