■リシャールのパラドックス（オリジナル版）

• ０から１の間にある実数を、論理的な言葉で正確に指定できる文を 「リシャール文」と呼ぶことにする。用語の数は高々有限個なので、 それらを組み合わせたリシャール文の個数も有限個である。 そこで、リシャール文に番号をつけて、 Ｒ₁、Ｒ₂、Ｒ₃…と並べる。
• 今ここで、次のようなルールで、０から１の間にある実数を、 論理的な言葉で正確に指定してみよう。 (*1)「小数点以下第ｎ位の数は、 ｎ番目のリシャール文が指定する実数の 小数点以下第ｎ位（ａ_nn）が０の時に１、 ０以外の時に０、とする。」
• この言葉自身も０から１の間にある実数を正確に指定しているので リシャール文であり、Ｒ₁、Ｒ₂、Ｒ₃… と並べたどこかに存在している。その順番をｂとする。

図１ リシャールのパラドックス Richard's paradox

• さて、Ｒ_bを具体的に構成してみよう。 例えば小数点以下第１位は、１番目のリシャール文が指定する実数の 小数点以下第１位の数（ａ₁₁）を見て、 それが０なら１、０以外なら０と決める。 同様に、小数点以下第２位、第３位………と、 順次各桁が０か１かに決まっていく。
• しかし、小数点以下ｂ桁目を決めようとした時に問題が生じる。 Ｒ_bの定義から、小数点以下第ｂ位の数は、 自分自身のの小数点以下ｂ桁目の数ａ_bbを見て、 それが０なら１、０以外なら０と決めなければならず、 結局、どちらにも決めることが出来ない。
• 論理的に全てが厳密に決定できるように定義してきたのに、 何故このようなパラドックスが生じるのであろうか？

■リシャールのパラドックス（吉永良正版）

• 今、論理的な言葉で、自然数ｎについて言及する表現 Ｗ(n) を考える。 用語の数は高々有限個なので、それらを組み合わせて作られる表現の個数も 高々有限個であるため、これらに番号をつけて Ｗ₁(ｎ)、Ｗ₂(ｎ)、Ｗ₃(ｎ)…と並べる。
• 今ここで、次のように自然数ｎについて言及した表現を作ってみよう。 (*2)「ｎについての表現で、ｎ番目にあるもの」
• この表現もｎについて言及したものであるので、 Ｗ₁(ｎ)、Ｗ₂(ｎ)、Ｗ₃(ｎ)… と並べたどこかに存在している。その順番をａとする。

図２ 論理的文章（自己言及性）

• さて、具体的に見てみると、Ｗ_a(1)は、定義から 「自然数１についての表現で、１番目にあるもの」だから、 Ｗ₁(1) のことを指し示している。 同様に、Ｗ_a(2)は、 「自然数２についての表現で、２番目にあるもの」だから、 Ｗ₂(2) のことを指し示している。
• 続けて見ていくと、ａ番目に来た時に 「自然数ａについての表現で、ａ番目にあるもの」すなわち Ｗ_a(a)と、自分自身を指し示すことになる。 この事自体は、自然数ｎについて言及する表現であるという決まりに対して 特に問題は無い。
• 次に、自然数ｎについて以下のように言及した表現を作ってみよう。 (*3)「ｎについての表現で、 ｎ番目に無いもの」
• この表現もｎについて言及したものであるので、 Ｗ₁(ｎ)、Ｗ₂(ｎ)、Ｗ₃(ｎ)… と並べたどこかに存在している。その順番をｂとする。

図３ 論理的文章（自己言及性＋否定性）

• さて、具体的に見てみると、Ｗ_b(1)は、定義から 「自然数１についての表現で、１番目にないもの」だから、 Ｗ₂(1)、Ｗ₃(1)……… のことを指している。 同様に、Ｗ_b(2)は、 「自然数２についての表現で、２番目にないもの」だから、 Ｗ₁(2)、Ｗ₃(2)……… のことを指している。 このように、Ｗ_b(n)は、対角線上の表現Ｗ_n(n) 以外の表現を指している。
• 続けて見ていくと、Ｗ_b(b)は、 「自然数ｂについての表現で、ｂ番目にないもの」を指し示している。 Ｗ_b(b)は、 もともと「自然数ｂについての表現で、ｂ番目にあるもの」であるのに、 その指し示している内容は「自然数ｂについての表現で、ｂ番目にないもの」と、 反対の意味であり、明らかに矛盾している。
• 論理的に全ての表現が明確に定まるように定義してきたのに、 何故このような矛盾が生じてしまうのだろうか？

■証明不可能命題の存在証明（廣瀬健・横田一正版）

• 論理学の記号を用いて構成可能な自然数ｎを一つの変数として持つ全ての論理式を考える。 論理記号はたかだか有限個なので、それらを組み合わせた論理式も有限個である。 そこで、全ての論理式に番号をつけて、 Ｐ₀、Ｐ₁、Ｐ₂…と並べる。
• 今ここで、(*4)「Ｐ_n(n)が証明できる」 という表現を考えてみる。 「証明できる」という表現も論理記号の組み合わせであるので、 Ｐ₀、Ｐ₁、Ｐ₂…と並べられた論理式のどこかにあり、 ここではａ番目にあるとする。 例えば、Ｐ_a(0)は、「Ｐ₀(0)が証明できる」という事を表現している。 （論理式で書けば ├Ｐ₀(0)。）
• 同様に、(*5)「Ｐ_n(n)が 証明できない」という論理式も存在可能であり、 これがｂ番目にあるとする。 例えば、Ｐ_b(0)は、「Ｐ₀(0)が証明できない」という事を表現している。 （論理式で書けば ├¬Ｐ₀(0)。）

図４ 証明可能性（自己言及性＋否定性）

• さて、Ｐ_b(b)に着目してみると、これは 「Ｐ_b(b)は証明できない」ということを意味する論理式になっている。 しかし一方で、Ｐ_b(n)はもともと「Ｐ_n(n)は証明できない」ことを意味するので、 全体では「『Ｐ_b(b)は証明できない』は証明できない」という形になっている。 「証明できないという事が証明できない」ということは証明できるという事になる。 かくして、Ｐ_b(b)は、証明できるとも証明できないとも決定できないことになる。

■ゲーデルの不完全性定理

• 以上見てきたように、自然数１、２、３…という数学の基本概念（ペアノの公理系）を含む 算術の体系が論理的に正しいものであると認める限り、その正しさと厳密性ゆえに 証明できるとも証明できないとも決定できない命題が抱え込まれてしまうことが分かる。 このような問題が発生する根源的な原因は、 「自己参照性」「否定」の概念と「排中律」にある。 「リシャールのパラドックス」は、 リシャール文の中から他のリシャール文を参照するという自己参照性と、 参照先の数値でないという否定の概念を 定義の中に持ち込むことにより引き起こされている。 また、この考え方を論理的な真偽、論理式の証明可能性に拡張した時に、 「命題は真か偽かのいずれかで、その中間は無い」 「命題は証明可能か証明不可能かのいずれかで、その中間は無い」 という排中律を前提としているために、 その論理体系内では自己否定を扱うことができず、 決定不能な命題となってしまうのである。 （ここで、命題とは、真か偽のいずれかを表現するものであり、 証明とは、真の命題から別の命題を真のものとして導くことをいう。）
• 対角線論法は、 事象を１つ２つと数える算術を基礎に含む論理体系が、 自己参照と否定と排中律を含む時に、 ある命題が不可避的に自己否定の刃を突き付けられることを 視覚的に鮮やかに示している。 つまり、「変数ｎについての論理式である」という事と 「ｎ番目の論理式である」という事が 有限のマトリックス内の対角線上で必ず具体的に定まった自己言及性を生み、 論理的に（厳密に）自分が自分自身の反対のことを述べているケースが 作れてしまうということである。 なお、このような命題がどこかに必ず存在してしまうことは示されたが、 任意の形式的論理体系において、 どの命題が決定不能なのかを具体的に特定することは 容易ではない。
• このように、数学が証明も反証もできない命題を本質的に抱え込んでしまうという事が 「第１不完全性定理」であるが、 このような命題をひとたび抱え込んでしまうと、 数学という体系全体の無矛盾性までも証明できなくなってしまうことが導ける。 これが「第２不完全性定理」である。
• 数学から自然数の概念を除去できようはずも無いし、 自己参照性や否定の概念を取り去れば、 極めて貧相な体系しか残されないことも明らかである。 また、排中律についても、ヒルベルトは、 『数学者から排中律を奪うのは、天文学者から望遠鏡を、 ボクサーから拳を奪うようなものだ』と言っている。 だから、数学が数学であり続ける限り、 数学は、この本質的な不完全性を抱え込み続けなければならない。 数学は、この本質的な不完全性を孕みつつ、 厳密では無いのかも知れないが豊穣な有意義らしい成果を求め続ける学問 ………となってしまったのである。